Solución:

function sumarDiasFecha($fecha,$dias)
{
//Hay que sumarle un día menos para que me cuente el día de la fecha desde la que
empieza a sumar.
$dias--;
//Formato de $fecha 00/00/0000 dia/mes/año
$dia = substr($fecha,0,2);
$mes = substr($fecha,3,2);
$año = substr($fecha,6,4);
$nfecha = date("Y-m-d", mktime(0,0,0,date($mes),date($dia)+$dias,date($año )));
//Devuelve formato 0000-00-00 así que lo cambio al formato para mostrar
$año = substr($nfecha,0,4);
$mes = substr($nfecha,5,2);
$dia = substr($nfecha,8,2);
$nfecha = "$dia/$mes/$año";
return $nfecha;
}